設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和
(1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值;
(2)若互不相等正整數(shù)p,q,m,使得p+q=2m,證明:不等式SpSq<Sm2成立;
(3)是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N*),若存在,試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也是等差數(shù)列,得到Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),從而可求S3n的值;
(2)SpSq=pq(a1+ap)(a1+aq)=pq[a12+a1(ap+aq)+apaq],進(jìn)而利用基本不等式可證;
(3)設(shè)an=pn+q(p,q為常數(shù)),則Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1,

,故有 ,由此能夠求出常數(shù) 及等差數(shù)列 滿足題意.
解答:解:(1)在等差數(shù)列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差數(shù)列,
∴Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn
∴S3n=3 S2n-3 Sn=60…(4分)
(2)SpSq=pq(a1+ap)(a1+aq
=pq[a12+a1(ap+aq)+apaq]
=pq(a12+2a1am+apaq)<2[a12+2a1am+(2]
=m2(a12+2a1am+am2)=[m(a1+am)]2
=Sm2…(8分)
(3)假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立.
設(shè)an=pn+q(p,q為常數(shù)),則Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1,

,
故有

由①得p=0或 .當(dāng)p=0時(shí),由②得q=0,而p=q=0不適合③,故p≠0把 代入②,得 代入③,又 ,從而 .故存在常數(shù) 及等差數(shù)列 滿足題意.
點(diǎn)評:本題以等差數(shù)列為載體,考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)先假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立.然后再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行求解.
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