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設函數f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3,其中x∈R,t∈R,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達式;
(2)討論g(t)在區(qū)間[-1,1]內的單調性;
(3)若當t∈[-1,1]時,|g(t)|≤k恒成立,其中k為正數,求k的取值范圍.
【答案】分析:(1)求出f′(x)=2x-2t,當x>t時和當x<t時函數的增減性即可得到f(x)的最小值為f(t)=g(t)算出即可
(2)求出g(t)=0求出函數駐點,在[-1,1]上討論函數的單調性即可;
(3)要討論,|g(t)|≤k恒成立即g(t)的最大值≤k,求出g(t)的最大值列出不等式求出k的范圍即可.
解答:解:(1)根據題意得f′(x)=2x-2t=0得x=t,當x<t時,f′(x)<0,函數為減函數;當x>t時,f′(x)>0,函數為減函數.則f(x)的最小值g(t)=f(t)=4t3-3t+3;
(2)求出g′(t)=12t2-3=0解得t=,
當-1≤t<≤t≤1時,g′(t)>0,函數為增函數;
當-≤t≤時,g′(t)<0,函數為減函數.所以函數的遞增區(qū)間為[-1,-]與[,1],遞減區(qū)間為[-);
(3)由(2)知g(t)的遞增區(qū)間為[-1,-]與[,1],遞減區(qū)間為[-,);
又g(1)=4,g(-)=4
∴函數g(t)的最大值為4,
則g(t)≤4.
∵當t∈[-1,1]時,|g(t)|≤k恒成立,
∴k≥4
點評:考查學生利用導數求閉區(qū)間上函數最值的能力,利用導數研究函數的單調性的能力,以及理解函數恒成立條件的能力.
練習冊系列答案
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1x+1
).
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(2)當m=2時,若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個不同的實數解,求實數a的取值范圍;
(3)是否存在實數m,使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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(2)若f(x)在定義域內既有極大值又有極小值,求實數a的取值范圍;
(3)求證:不等式ln
n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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