設函數f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3,其中x∈R,t∈R,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達式;
(2)討論g(t)在區(qū)間[-1,1]內的單調性;
(3)若當t∈[-1,1]時,|g(t)|≤k恒成立,其中k為正數,求k的取值范圍.
【答案】
分析:(1)求出f′(x)=2x-2t,當x>t時和當x<t時函數的增減性即可得到f(x)的最小值為f(t)=g(t)算出即可
(2)求出g(t)=0求出函數駐點,在[-1,1]上討論函數的單調性即可;
(3)要討論,|g(t)|≤k恒成立即g(t)的最大值≤k,求出g(t)的最大值列出不等式求出k的范圍即可.
解答:解:(1)根據題意得f′(x)=2x-2t=0得x=t,當x<t時,f′(x)<0,函數為減函數;當x>t時,f′(x)>0,函數為減函數.則f(x)的最小值g(t)=f(t)=4t
3-3t+3;
(2)求出g′(t)=12t
2-3=0解得t=
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,
當-1≤t<
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或
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≤t≤1時,g′(t)>0,函數為增函數;
當-
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≤t≤
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時,g′(t)<0,函數為減函數.所以函數的遞增區(qū)間為[-1,-
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]與[
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,1],遞減區(qū)間為[-
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,
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);
(3)由(2)知g(t)的遞增區(qū)間為[-1,-
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]與[
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,1],遞減區(qū)間為[-
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,
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);
又g(1)=4,g(-
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)=4
∴函數g(t)的最大值為4,
則g(t)≤4.
∵當t∈[-1,1]時,|g(t)|≤k恒成立,
∴k≥4
點評:考查學生利用導數求閉區(qū)間上函數最值的能力,利用導數研究函數的單調性的能力,以及理解函數恒成立條件的能力.