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18.如圖1,2,在Rt△ABC中,AB=BC=4,點(diǎn)E在線段AB上,過點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)F,將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點(diǎn)A與P重合),使得∠PEB=60°.

(1)求證:EF⊥PB;
(2)試問:當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí),四棱錐P-EFCB的側(cè)面的面積最大?并求此時(shí)四棱錐P-EFCB的體積及直線PC與平面EFCB所成角的正切值.

分析 (1)推導(dǎo)出EF⊥AB,EF⊥BE,EF⊥PE,由此能證明EF⊥PB. 
(2)設(shè)BE=x,PE=y,則x+y=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí),S△PEB的面積最大,此時(shí),BE=PE=2.EF⊥平面PBE,從而平面EFCB⊥平面PBE.作PO⊥BE于O,則PO為四棱錐P-EFCB的高,∠PCO就是PC與平面EFCB所成角.由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(1)∵EF∥BC且BC⊥AB,
∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.又BE∩PE=E,
∴EF⊥平面PBE,又PB?平面PBE,
∴EF⊥PB.�。�4分)
解:(2)設(shè)BE=x,PE=y,則x+y=4.
SPEB=12BEPEsinPEB=34xy34x+y22=3
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí),S△PEB的面積最大,此時(shí),BE=PE=2.
由(1)知EF⊥平面PBE,
∵EF?平面EFCB,∴平面EFCB⊥平面PBE.
在平面PBE中,作PO⊥BE于O,則PO⊥平面EFCB.
即PO為四棱錐P-EFCB的高.
PO=PEsin600=2×32=3SEFCB=12×2+4×2=6
VPBCFE=13×6×3=23(8分)
OE=PEcos600=2×12=1,
∴BO=1,在Rt△OBC中,OC=BO2+BC2=1+42=17
∵PO⊥平面EFCB,∴∠PCO就是PC與平面EFCB所成角.
tanPCO=POOC=317=5117,
故直線PC與平面EFCB所成角的正切值為5117(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查四棱錐的體積及線面角的正切值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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