Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，2）上單調(diào)遞減，當(dāng)且僅當(dāng)x＞4時(shí)．f（x）＞x²-4x+5=g（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=m與函數(shù)f（x），g（x）的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，確定-1和2是兩個(gè)極值點(diǎn)，從而確定條件關(guān)系求出參數(shù)a，b，c．
（2）求出函數(shù)f（x），g（x）的極大值和極小值，結(jié)合圖象，確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，2）上單調(diào)遞減，所以-1，2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，即-1，2是f'（x）=0的兩個(gè)根，
因?yàn)閒'（x）=3x²+2ax+b，所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得

-1+2=- 2a 3 -1×2= b 3

解得

a=- 3 2 b=-6

．
所以f(x)=x3-

3

2

x2-6x+c．
令H(x)=f(x)-x2-4x+5=x3-

5

2

x2-2x+c-5，則H'（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2），
所以函數(shù)H（x）在（-∞，

1

3

），（2，+∞）上為增函數(shù)，在（-

1

3

，2）上為減函數(shù)，故

H(4)=0 H(- 1 3 )＜0

，解得c=-11．
所以此時(shí)f(x)=x3-

3

2

x2-6x-11．
（2）因?yàn)?span id="uqpchbo" class="MathJye">f(x)=x3-

3

2

x2-6x-11，則f(-1)=-

15

2

，f(2)=-21，
故當(dāng)-21＜m＜-

15

2

時(shí)，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，與g（x）的圖象沒有交點(diǎn)．
又g（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1≥1，故當(dāng)m＞1時(shí)，直線y=m與g（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，與f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，
又f（4）=g（4）=5，故當(dāng)1＜m＜5或m＞5時(shí)，直線y=m與函數(shù)f（x），g（x）的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍(-21，-

15

2

)∪(1，5)∪(5，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值的關(guān)系．對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)圖象的相交問題，要利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決，一般是通過確定函數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)來確定滿足條件的范圍．