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18.已知橢圓C1和拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)均在x軸上,從兩條曲線(xiàn)上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)混合記錄于表中:
x2269
y32-13
(1)求橢圓C1和拋物線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓C1右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與此橢圓相交于A(yíng),B兩點(diǎn),點(diǎn)P(4,0),設(shè)FA=λFBλ[21],求|PA+PB|取最大值時(shí),直線(xiàn)l的斜率.

分析 (1)設(shè)拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p≠0),據(jù)此驗(yàn)證(2,-2)、(9,3)在拋物線(xiàn)上,易求C2:y2=x,
設(shè)C1x2a2+y22=1+=1,a>b>0,把點(diǎn)(-2,3),(6,-1)代入方程,能夠求出C1方程.
(2)設(shè)出直線(xiàn)方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及向量知識(shí),結(jié)合配方法,即可求|PA+PB|取最大值時(shí),直線(xiàn)l的斜率.

解答 解:(1)設(shè)拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p≠0),據(jù)此驗(yàn)證(2,-2)、(9,3)在拋物線(xiàn)上,易求C2:y2=x,
設(shè)C1x2a2+y22=1+=1,a>b>0,把點(diǎn)(-2,3),(6,-1)代入方程得{2a2+32=16a2+12=1{a2=82=4
∴C1方程為:x28+y24=1
(2)由題意容易驗(yàn)證直線(xiàn)l的斜率不為0,由右焦點(diǎn)F(2,0),
故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=ky+2,代入橢圓C1方程:x28+y24=1
得(k2+2)y2+4ky-4=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)關(guān)系,
得y1+y2=-4kk2+2①,y1y2=-4k2+2②,
 由FA=λFBλ[21],所以y1y2=λ且λ<0,
所以將上式①的平方除以②,得y1y2+y2y1+2=4k22+k2.即λ+1λ=4k22+k2,
由λ∈[-2,-1],可得-52λ+1λ2,⇒124k2k2+20,⇒0≤k227
PA=(x1-4,y1),PB=(x2-4,y2),PA+PB=(x1+x2-8,y1+y2),
x1+x2-8=k(y1+y2)-4=-2+8K22+K2,
|PA+PB|2=(x1+x2-8)2+(y1+y22=64k4+48k2+42+k22
令t=12+k2,則PA2=164t2-208t+64,
∵0≤k227.∴716t12,則f(t)=164t2-208t+64的對(duì)稱(chēng)軸為t=264112
則f(t)在[716,12]遞減,即有t=716,|PA+PB|取得最大值,
此時(shí)k=±147,直線(xiàn)l的方程為x=±147y+2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法、向量知識(shí)的運(yùn)用,韋達(dá)定理,及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,考查計(jì)算能力,屬于難題

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