【題目】已知橢圓： 的離心率為，且橢圓過點(diǎn).過點(diǎn)做兩條相互垂直的直線、分別與橢圓交于、、、四點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若， ，探究：直線是否過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知，可建立關(guān)于橢圓三個(gè)參數(shù)的方程組進(jìn)行求解，由離心率可得，又點(diǎn)在橢圓上，可得，結(jié)合，從而問題可得解.

（Ⅱ）由題意，可對直線的斜率分“不存在與0”和“都存在且”兩種情況進(jìn)行分類討論，先對后一種情況探究，則可設(shè)兩直線的方程分別為， ，逐個(gè)聯(lián)立橢圓方程，分別計(jì)算的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，并求得其定點(diǎn)為，再對前一種情況進(jìn)行驗(yàn)證即可.

試題解析：（Ⅰ）由題意知， ，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）∵， ，∴、分別為、的中點(diǎn).

當(dāng)兩直線的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為， ， ， ， ，

聯(lián)立，得，∴，

∴， ，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為；

同理， 中點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，

∴直線的方程為 ，

即，∴直線過定點(diǎn)；

當(dāng)兩直線的斜率分別為0和不存在時(shí)，則直線的方程為，也過點(diǎn)；

綜上所述，直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2018·邯鄲一模)若甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σ2)及N(μ2，σ2)，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)

A. 乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝64

B. 甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中

C. 甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4 kg

D. 甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】研究發(fā)現(xiàn)，北京 PM 2.5 的重要來源有土壤塵、燃煤、生物質(zhì)燃燒、汽車尾氣與垃圾焚燒、工業(yè)污染和二次無機(jī)氣溶膠，其中燃煤的平均貢獻(xiàn)占比約為 18%．為實(shí)現(xiàn)“節(jié)能減排”，還人民“碧水藍(lán)天”，北京市推行“煤改電”工程，采用空氣源熱泵作為冬天供暖．進(jìn)入冬季以來，該市居民用電量逐漸增加，為保證居民取暖，市供電部門對該市 100 戶居民冬季（按 120 天計(jì)算）取暖用電量（單位：度）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到居民冬季取暖用電量的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）從這 100 戶居民中隨機(jī)抽取 1 戶進(jìn)行深度調(diào)查，求這戶居民冬季取暖用電量在[3300,3400]的概率；

（3）在用電量為[3200,3250)，[3250,3300)，[3300,3350)，[3350,3400]的四組居民中，用分層抽樣的方法抽取 34 戶居民進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從用電量在[3200,3250)的居民中抽取多少戶？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.

（1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；

（2）用數(shù)學(xué)納法證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA=2,E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)．

（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE//平面FCC；

（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和分別為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末考試第16題) “中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”. “中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．

(1) 判斷函數(shù)g(x)=2x是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；

(2) 若函數(shù)f(x)=(x–1)2在定義域[m，n](m>1)上為“依賴函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m、n乘積mn的取值范圍；

(3) 已知函數(shù)f(x)=(x–a)2 (a<)在定義域[，4]上為“依賴函數(shù)”．若存在實(shí)數(shù)x[，4]，使得對任意的tR，有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立，求實(shí)數(shù)s的最大值．

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