Question

【題目】(導學號：05856287)

已知點A(0,1)與B(， )都在橢圓C： (a＞b＞0)上，直線AB交x軸于點M.

(Ⅰ)求橢圓C的方程，并求點M的坐標；

(Ⅱ)設O為原點，點D與點B關于x軸對稱，直線AD交x軸于點N.問：y軸上是否存在點E，使得∠OEM＝∠ONE？若存在，求點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ＋y2＝1. 點M(，0) (2) 在y軸上存在點E，使得∠OEM＝∠ONE，且點E的坐標為(0,2)或(0，－2).

【解析】試題分析：（1）由點A(0,1)與B(， )都在橢圓C： （a＞b＞0）上，利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程和直線AB的方程，由此能求出點M的坐標．

（2）由已知求出D（，﹣），直線AD：3x+2y﹣2=0，從而求出N（，0），設E（0，y0），由∠OEM=∠ONE，得到||=||，從而求出y軸上是否存在點E（±2，0），使得∠OEM=∠ONE．

試題解析：

(Ⅰ)由題意得∴

故橢圓C的方程為＋y2＝1.

直線AB方程為y＝－x＋1，與x軸交于點M(2，0).

(Ⅱ)因為點D與點B關于x軸對稱，

所以D(，－)，

直線AD方程為y＝－x＋1，

與x軸交點N(，0)．

“存在點E(0，yE)使得∠OEM＝∠ONE”等價于“存在點E(0，yE)使得＝”，

即yE滿足y＝|xM||xN|.

∴y＝2×＝4，∴yE＝±2，

故在y軸上存在點E，使得∠OEM＝∠ONE，且點E的坐標為(0,2)或(0，－2).