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7.如圖所示,等腰梯形ABCD的底邊AB在x軸上,頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱,且底邊AB和CD的長分別為6和26,高為3.
(Ⅰ)求等腰梯形ABCD的外接圓E的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,2),點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動,求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程,并指出其軌跡.

分析 (Ⅰ)確定四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)對稱性判斷出E在y軸上,設(shè)其坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式建立等式求得E的坐標(biāo)和半徑,則圓的方程可得.
(Ⅱ)設(shè)出P的坐標(biāo),表示出M的坐標(biāo)代入圓E的方程,進(jìn)而求得P的軌跡方程.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)E(0,b),
由已知可得:A30B30C63D63,(2分)
由|EB|=|EC|得:302+0b2=602+3b2b=1,(4分)
∴圓E的圓心為E(0,1),半徑為r=10,
∴圓E的方程為:x2+(y-1)2=10.(6分)
(Ⅱ)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),(7分)
∵P為線段MN的中點(diǎn),∴{5+x02=x2+y02=y{x0=2x5y0=2y2,(9分)
代入點(diǎn)2x52+2y32=10x522+y322=52所在圓的方程得:2x52+2y32=10x522+y322=52,(11分)
∴點(diǎn)x522+y322=52的軌跡方程為x522+y322=52.(12分)

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用.求圓的方程,一般是確定圓心和半徑.解決軌跡方程的問題的步驟先設(shè)點(diǎn),求得變量x和y的關(guān)系即可.

練習(xí)冊系列答案
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A.(-1,0)∪(0,1)B.(-3,-1)∪(1,3)C.(-3,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,3)

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給出下列結(jié)論:
①四面體A-BCD體積的最大值為725;
②四面體A-BCD外接球的表面積恒為定值;
③若E、F分別為棱AC、BD的中點(diǎn),則恒有EF⊥AC且EF⊥BD;
④當(dāng)二面角A-BD-C為直二面角時(shí),直線AB、CD所成角的余弦值為1625;
⑤當(dāng)二面角A-BD-C的大小為60°時(shí),棱AC的長為145
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)有( �。�
A.1B.2C.3D.4

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16.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,3sin Ccos C-cos2C=12,且c=3.
(1)求角C;
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(Ⅰ)求取出的3個(gè)球中,含有編號為2的球的概率;
(Ⅱ)求取出的3個(gè)球中,最大編號為3的概率;
(Ⅲ)在取出的3個(gè)球中,紅色球的個(gè)數(shù)設(shè)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.

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