Question

【題目】對正整數(shù)n，記In={1，2，3，...,n}，Pn={|m∈In，k∈In}．

（1）求集合P7中元素的個數(shù)；

（2）若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并集．

Answer 1

【答案】（1）46；（2）n的最大值為14.

【解析】試題分析：（1）對于集合P7，有n=7．當(dāng)k=4時，根據(jù)Pn中有3個數(shù)與In={1，2，3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得集合P7中元素的個數(shù)．
（2）先用反證法證明證當(dāng)n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并集，再證P14滿足要求，從而求得n的最大值．

試題解析：

（1）對于集合P7 ，有n=7.當(dāng)k=4時，Pn={|m∈In，k∈In}中有3個數(shù)（1，2，3）與

In={1，2，3，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得集合P7中元素的個數(shù)為 7×7﹣3=46.

（2）先證當(dāng)n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并集．否則，設(shè)A和B為兩個不相交的稀疏集，使A∪B=PnIn ．

不妨設(shè)1∈A，則由于1+3=22，∴3A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，

這與A為稀疏集相矛盾．

再證P14滿足要求．當(dāng)k=1時，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2個稀疏集的并集．

事實上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，則A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14

當(dāng)k=4時，集合{|m∈I14}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{，，，…，}，可以分為下列2個稀疏集的并：

A2={，，，}，B2={，，}．

當(dāng)k=9時，集合{|m∈I14}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{，，，，，，}，

可以分為下列2個稀疏集的并：

A3={，，，，}，B3={，，，，}．

最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的數(shù)的分母都是無理數(shù)，

它與Pn中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，

因此，令A(yù)=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14.

綜上可得，n的最大值為14.