Question

（1）利用函數單調性的定義證明函數h(x)=x+

3

x

在[

3

，∞)上是增函數；
（2）我們可將問題（1）的情況推廣到以下一般性的正確結論：已知函數y=x+

t

x

有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在(0，

t

]上是減函數，在[

t

，+∞)上是增函數．
若已知函數f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性質求出函數f（x）的單調區(qū)間；又已知函數g（x）=-x-2a，問是否存在這樣的實數a，使得對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，若不存在，請說明理由；如存在，請求出這樣的實數a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義進行證明．
（2）根據推廣的結論，確定函數f（x）的單調區(qū)間，利用條件g（x₂）=f（x₁）成立，建立條件關系，即可求a．

解答：解：（1）設x1，x2∈[

3

，+∞)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1+

3

x1

-x2-

3

x2

=

(x1-x2)(x1x2-3)

x1x2

，
∵x2＞x1≥

3

，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞3．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，函數在給定的區(qū)間上單調遞增．
（2）∵y=f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

=2x+1+

4

2x+1

-8，
設u=2x+1，x∈[0，1]，
則1≤u≤3，
則y=u+

4

u

-8，u∈[1，3]，
由已知性質得，
當1≤u≤2，即0≤x≤

1

2

時，f（x）單調遞減，
∴遞減區(qū)間為[0，

1

2

]，
當2≤u≤3，即

1

2

≤x≤1時，f（x）單調遞增，
∴遞增區(qū)間為[

1

2

，1]．
由f(0)=-3，f(

1

2

)=-4，f(1)=-

11

3

，
得f（x）的值域為[-4，-3]，
由于g（x）=-x-2a為減函數，
故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]
由題意，f（x）的值域為g（x）的值域的子集，
從而有

-1-2a≤-4 -2a≥-3

，
∴a=

3

2

，
∴存在滿足條件的值．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷和證明，以及對勾函數的性質，考查學生的理解和應用能力．