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8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0時(shí),有f(x)>0
(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(1)=1,若f(x)<m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-2,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),分析如下:先證明f(x)是定義在R上的奇函數(shù),令x=y=0,可得f(0)=0,
令y=-x,代入可得f(-x)=-f(x),f(x)是定義在R上的奇函數(shù).設(shè)x1<x2,作差并且證明f(x2)-f(x1)>0即可.
(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上為單調(diào)遞增函數(shù),可得f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=1,因此要使f(x)<m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-2,2]恒成立,只要m2-2am+1>1,即m2-2am>0恒成立,利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),證明如下:
先證明f(x)是定義在R上的奇函數(shù),令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,
令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),f(x)是定義在R上的奇函數(shù).
設(shè)x1<x2
則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
當(dāng)x>0時(shí),有f(x)>0,所以f(x2)>f(x1),
故f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù).
(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上為單調(diào)遞增函數(shù),
所以f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=1,
所以要使f(x)<m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-2,2]恒成立,
只要m2-2am+1>1,即m2-2am>0恒成立,
令g(a)=m2-2am=-2am+m2,則{g20g20{4m+m204m+m20
解得m>4或m<-4.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>4或m<-4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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