Question

已知無(wú)窮數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n都有Sn2=(Sn)2成立，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)任意正整數(shù)n，從集合{a₁，a₂，…，a_n}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過(guò)加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a₁，a₂，…，a_n一起恰好是1至S_n全體正整數(shù)組成的集合．
（ⅰ）求a₁，a₂的值；
（ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）設(shè)公差為d，則有S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=n[

d

2

n+(a1-

d

2

)]，由已知可得[

d

2

n2+(a1-

d

2

)]=[

d

2

n+(a1-

d

2

)]2，即可解得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）（i）記A_n={1，2，…S_n}，顯然a₁=S₁=1，對(duì)于S₂=a₁+a₂=1+a₂，有A₂={1，2，…S₂}={1，a₂，1+a₂，|1-a₂|}={1，2，3，4}，即可解得a₂的值．
（ii）由題意可知，S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1，又S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），可得S_n=（S₁+

1

2

）•3^n-1-

1

2

=

1

2

•3ⁿ-

1

2

，即可求得a_n=S_n-S_n-1=3^n-1．

解答： （16分）
解：（1）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則：S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=n[

d

2

n+(a1-

d

2

)]，
所以：Sn2=n2[

d

2

n2+(a1-

d

2

)]又(Sn)2=n2[

d

2

n+(a1-

d

2

)]2，
則：[

d

2

n2+(a1-

d

2

)]=[

d

2

n+(a1-

d

2

)]2，
所以：

d 2 = d2 4 a1- d 2 =(a1- d 2 )2 d(a1- d 2 )=0

則a_n=1或a_n=2n-1，
（2）（i）記A_n={1，2，…S_n}，顯然a₁=S₁=1，
對(duì)于S₂=a₁+a₂=1+a₂，
有A₂={1，2，…S₂}={1，a₂，1+a₂，|1-a₂|}={1，2，3，4}，
故1+a₂=4，所以a₂=3，
（ii）由題意可知，集合{a₁，a₂，…a_n}按上述規(guī)則，共產(chǎn)生S_n個(gè)正整數(shù)．而集合{a₁，a₂，…a_n，a_n+1}按上述規(guī)則產(chǎn)生的S_n+1個(gè)正整數(shù)中，除1，2，…S_n這S_n個(gè)正整數(shù)外，
還有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…S_n），共2S_n+1個(gè)數(shù)．所以，S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1，
又S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
所以S_n=（S₁+

1

2

）•3^n-1-

1

2

=

1

2

•3ⁿ-

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

•3n-

1

2

-(

1

2

•3n-1-

1

2

)=3^n-1而a₁=1也滿足a_n=3^n-1．
所以，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=3^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．