Question

在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，且a₂，a₁+a₃，a₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n²-a_n}的前n項和為S_n，記b_n=

2n

Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₂，a₁+a₃，a₄成等差數(shù)列得到2（a₁+a₃）=a₂+a₄，應用等比數(shù)列通項公式，化簡求出公比，寫出通項a_n；
（Ⅱ）運用分組求和求出S_n，注意分成兩組都是等比數(shù)列，并運用等比數(shù)列求和公式，然后求出b_n，并對b_n拆成兩項的差，運用裂項相消求和即可求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列的公比為q，由已知得：2（a₁+a₃）=a₂+a₄，
即2（a₁+a₁q²）=a₁q+a₁q³，解得q=2，
又∵a₁=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
S_n=（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁+a₂+…+a_n）
=（4+4²+4³+…+4ⁿ）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

4(1-4n)

1-4

-

2(1-2n)

1-2

=

4

3

（4ⁿ-1）-2（2ⁿ-1）=（2ⁿ-1）（

4

3

•2ⁿ-

2

3

）=

2

3

（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），
又b_n=

2n

Sn

，
∴b_n=

3

2

•

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

3

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=

3

2

[（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+（

1

23-1

-

1

24-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）
+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）]
=

3

2

（1-

1

2n+1-1

）=

3

2

-

3

2n+2-2

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查兩種數(shù)列求和方法：分組求和與裂項相消求和，這是兩種重要的求和方法，務必掌握．