Question

設函數f（x）=sin（ωx+φ），其中，若，且圖象的一條對稱軸離一個對稱中心的最近距離是．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三個內角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵
∴
∴+φ=+kπ，得φ=+kπ，k∈Z
∵，∴取k=0，得，…（3分）
∵函數f（x）圖象的一條對稱軸離一個對稱中心的最近距離是，
∴周期為T=π，得ω==2，得． …（6分）
（2）由f（A）=-1，得，
∵A是△ABC的內角，0＜A＜π，
∴，得，
∴，從而． …（9分）
由=cosB+sinB
∴，…（12分）
∵，，
∴，即．
因此，sinB+sinC的取值范圍是（，1]…（14分）
分析：（1）根據已知等式化簡，得，結合φ的取值范圍算出．由對稱軸離一個對稱中心的最近距離得周期T=π，結合公式得出ω=2，從而得到函數f（x）的解析式；
（2）根據f（A）=-1，結合（1）的表達式及0＜A＜π，算出，從而．將C=-B代入并且化簡整理，得sinB+sinC=，結合三角函數的圖象與性質，可得sinB+sinC的取值范圍．
點評：本題給出函數y=Asin（ωx+φ）滿足的部分條件，要求確定其解析式并求函數值的取值范圍，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．