Question

已知函數(shù)（其中n為常數(shù)，n∈N^*），將函數(shù)f_n（x）的最大值記為a_n，由a_n構(gòu)成的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若對(duì)任意的n∈N^*，總存在x∈R⁺使，求a的取值范圍；
（Ⅲ）比較與a_n的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ），（2分）
令f_n′（x）＞0，則x＜eⁿ⁺¹-n．
∴f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上遞增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上遞減．（4分）
∴當(dāng)x=eⁿ⁺¹-n時(shí)，（5分）
即，
則．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴eⁿ⁺¹遞增，n（n+1）遞增，
∴遞減．
∴，
即（8分）
令，則，
∴g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
當(dāng)x→0時(shí)，；
當(dāng)x→+∞時(shí)，；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?，
∴（11分）
（Ⅲ）
=
=
=（12分）
令，
∵在[1，+∞）上遞減．
∴，
即（13分）
又（14分）
∴
∴（15分）
分析：（Ⅰ），令f_n′（x）＞0，則x＜eⁿ⁺¹-n．所以f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上遞增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上遞減．由此能求出S_n．
（Ⅱ）由n≥1，知eⁿ⁺¹遞增，n（n+1）遞增，遞減．所以，令，則，故g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．由此入手能夠求出a的取值范圍．
（Ⅲ）作差相減，得，整理為，令，能夠推導(dǎo)出．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)運(yùn)算能力，注意作差法的合理運(yùn)用．