Question

4．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₅=a₅+a₆=25．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式2S_n+8n+27＞（-1）ⁿk（a_n+4）對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出S_n，從而3n²+3n+27＞（-1）ⁿk•3n，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₅=a₅+a₆=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\\{{a}_{1}+4d+{a}_{1}+5d=25}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=3，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．
（2）∵a₁=-1，d=3，
∴${S}_{n}=-n+\frac{n（n-1）}{2}×3$=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n$．
∵不等式2S_n+8n+27＞（-1）ⁿk（a_n+4）對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，
∴3n²+3n+27＞（-1）ⁿk•3n，
∴（-1）ⁿk＜n+$\frac{9}{n}$+1對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k＜n+$\frac{9}{n}$+1，
設(shè)F（n）=n+$\frac{9}{n}$+1，
F（n）_min=F（4）=4+$\frac{9}{4}+1$=$\frac{29}{4}$．
∴k＜$\frac{29}{4}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-k＜n+$\frac{9}{n}$+1，k＞-（n+$\frac{9}{n}$+1），
-（n+$\frac{9}{n}$+1）≤-2$\sqrt{n•\frac{9}{n}}$-1=-7，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{9}{n}$，即n=3時(shí)，取等號(hào)，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-7，$\frac{29}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．