Question

已知向量

a

=（sin2x，1），向量

b

=（

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1），函數(shù)f（x）=λ（

a

•

b

-1）
（1）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]且當(dāng)λ≠0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)λ=2時，寫出由函數(shù)y=sin2x的圖象變換到函數(shù)y=f（x）的圖象的變換過程．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積，二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，
（1）通過x∈[-

3π

8

，

π

4

]且當(dāng)λ≠0時，∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

，對λ＞0，λ＜0分類討論求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）當(dāng)λ=2時，化簡函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)左加右減，先將y=sin2x的圖象向右平移

π

8

個單位，圖象上每個點的縱坐標(biāo)擴大為原來的

2

倍，
所得圖象向上平移一個單位，變換到函數(shù)y=f（x）的圖象．

解答：解：

a

•

b

=（sin2x，1）•（

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1）=sinx（sinx+cosx）+1
=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

) +

1

2

∴f（x）=λ[

2

2

sin(2x-

π

4

) +

1

2

]
（1）x∈[-

3π

8

，

π

4

]∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

當(dāng)λ＞0時，由-π≤2x-

π

4

≤-

π

2

得單調(diào)遞減區(qū)間為[-

3π

8

，-

π

8

]
同理，當(dāng)λ＜0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

π

8

，

π

4

]
（2）當(dāng)λ=2，f（x）=

2

sin(2x-

π

4

) +1，變換過程如下：
1°將y=sin2x的圖象向右平移

π

8

個單位可得函數(shù)y=sin(2x-

π

4

)的圖象．
2°將所得函數(shù)圖象上每個點的縱坐標(biāo)擴大為原來的

2

倍，而橫坐標(biāo)保持不變，可得函數(shù)y=

2

sin(2x-

π

4

)的圖象．
3°再將所得圖象向上平移一個單位，可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

) +1的圖象．

點評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，圖象的變換，注意圖象的變換的順序和方法，否則容易出錯．