Question

對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若存在x₀∈D，對(duì)任意的x∈D，都有f（x）≥f（x₀）或者f（x）≤f（x₀），則稱f（x₀）為函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“下確界”或“上確界”．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=ln（2-x）+x²在[0，1]上的“下確界”；
（Ⅱ）若把“上確界”減去“下確界”的差稱為函數(shù)f（x）在D上的“極差M”，試求函數(shù)F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的“極差M”；
（Ⅲ）類比函數(shù)F（x）的“極差M”的概念，請(qǐng)求出G（x，y）=（1-x）（1-y）+

x

1+y

+

y

1+x

在D={（x，y）|x，y∈[0，1]}上的“極差M”．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由“下確界”的定義知，即求最小值，利用導(dǎo)數(shù)可求；
（Ⅱ）由“極差”定義，借助F（x）的圖象，從左至右分6種情況討論即可：①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，②當(dāng)

1

2

＜a≤

5

6

時(shí)，③當(dāng)

5

6

＜a≤1時(shí)，④當(dāng)1＜a＜

3

2

時(shí)，⑤當(dāng)

3

2

≤a≤2時(shí)，⑥當(dāng)a＞2時(shí)；
（Ⅲ）由G（x，y）=

1+x+y+x2y2

(1+x)(1+y)

=1-

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

≤1，可得G（x，y）的最大值為1．令T=

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

，t=

xy

，則

xy(1-xy)

1+x+y+xy

≤

xy(1-xy)

1+2 xy +xy

=

t2(1-t2)

(1+t)2

=

t2(1-t)

1+t

，t∈[0，1]，令g（t）=

t2(1-t)

1+t

，利用導(dǎo)數(shù)可求得g（t）的最大值，進(jìn)而可得T的最小值；

解答： 解：（Ⅰ） 令f′（x）=

-1

2-x

+2x=0，則2x²-4x+1=0，∴x1=1-

2

2

＜1＜x2=1+

2

2

，
顯然，x₁∈[0，1]，列表有：

x	0	（0，x1）	x1	（x1，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	ln2	↘	極小值	↗	1

∴f（x）在[0，1]上的“下確界”為f（x₁）=ln（1+

2

2

）+

3

2

-

2

．
（Ⅱ）F（x）=x|x-2a|+3=

-x2+2ax+3，x≤2a x2-2ax+3，x＞2a

，
①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（2），F(xiàn)（x）_min=F（1），
極差M=F（2）-F（1）=3-2a；
②當(dāng)

1

2

＜a≤

5

6

時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（2），F(xiàn)（x）_min=F（2a），
極差M=F（a）-F（2a）=4-4a；
③當(dāng)

5

6

＜a≤1時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（1），F(xiàn)（x）_min=F（2a），極差M=F（a）-F（2）=2a-1；
④當(dāng)1＜a＜

3

2

時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（a），F(xiàn)（x）_min=F（2），
極差M=F（a）-F（2）=（a-2）²；
⑤當(dāng)

3

2

≤a≤2時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（a），F(xiàn)（x）_min=F（1），極差M=F（a）-F（1）=（a-1）²；
⑥當(dāng)a＞2時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（2），F(xiàn)（x）_min=F（1），
極差M=F（2）-F（1）=2a-3．
綜上所述：M=

3-2a，0＜a≤ 1 2 4-4a， 1 2 ＜a≤ 5 6 2a-1， 5 6 ＜a≤1 (a-2)2，1＜a≤ 3 2 (a-1)2， 3 2 ＜a≤2 2a-3，a＞2

；
（Ⅲ）∵G（x，y）=

1+x+y+x2y2

(1+x)(1+y)

=1-

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

≤1，
當(dāng)xy=0或xy=1時(shí)等號(hào)成立，∴G（x，y）的最大值為1．   
令T=

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

，t=

xy

，則

xy(1-xy)

1+x+y+xy

≤

xy(1-xy)

1+2 xy +xy

=

t2(1-t2)

(1+t)2

=

t2(1-t)

1+t

，t∈[0，1]，
令g（t）=

t2(1-t)

1+t

，則g′（t）=

(2t-3t2)(1+t)-(t2-t3)

(1+t)2

=

-2t(t- -1- 5 2 )(t- -1+ 5 2 )

(1+t)2

，
令g′（t）=0，得t=

-1+ 5

2

是g（t）的極大值點(diǎn)，也是g（t）的最大值點(diǎn)，
∴g（t）≤g(

-1+ 5

2

)=

5 5 -11

2

，從而T≤

5 5 -11

2

，
∴G（x，y）≥1-

5 5 -11

2

=

13-5 5

2

，
當(dāng)x=y=

-1+ 5

2

時(shí)等號(hào)成立，∴G（x，y）的最小值為

13-5 5

2

．
由此M=

5 5 -11

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)及不等式等知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解新知識(shí)的能力及解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，能力要求高．