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2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*
(1)證明:an+2=3an,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求Sn

分析 (1)利用數(shù)列遞推關(guān)系式,結(jié)合an與Sn的關(guān)系得出結(jié)論;
(2)利用分類討論思想寫出數(shù)列通項,結(jié)合等比數(shù)列再進(jìn)行分類求和.

解答 (1)證明:∵對任意的n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,①
∴對任意的n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.②
①-②,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2.
又∵a1=1,a2=2,
∴a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1
∴對一切n∈N*,an+2=3an
∵an≠0,
an+2an=3,
∴數(shù)列{a2n-1}是首項a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列{a2n}是首項a2=2,公比為3的等比數(shù)列.
∴a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1
∴an=\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n+1}{2}-1(n為奇數(shù))}}\\{{2}^{\frac{n}{2}-1(n為偶數(shù))}}\end{array}\right.
(2)解:由(1)知,a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1
則S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-1)+2×(1+3+…+3n-1)=3×(1+3+…+3n-1)=\frac{3({3}^{n}-1)}{2}
故S2n-1=S2n-a2n=\frac{3({3}^{n}-1)}{2}-2×3n-1=\frac{3}{2}×(5×3n-2-1).
綜上所述,Sn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}(5×{3}^{\frac{n-2}{2}-1}),(n=2k+1,k∈{N}^{+})}\\{\frac{3}{2}({3}^{\frac{n}{2}-1}),(n=2k,k∈{N}^{+})}\end{array}\right.

點評 本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式、等比數(shù)列通項公式和求和公式,結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想求解數(shù)列問題,意在考查考生對數(shù)列遞推關(guān)系的理解和運算求解能力.

練習(xí)冊系列答案
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10.下列正確的是( �。�
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C.若直線a∥α,b?α,則a∥b
D.若直線a∥b,b?α,直線a平行與平面內(nèi)的無數(shù)條直線

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17.已知集合A={x||x|<3},B={x|x-2<0},則A∪B=( �。�
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7.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,an+2=\frac{{a}_{n}({a}_{n+1}^{2}+1)}{{a}_{a}^{2}+1}(n≥1,n∈N*),令bn=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}+\frac{1}{a_n}}}
(1)求證:數(shù)列{bn}是常數(shù)列;
(2)求證:當(dāng)n≥2時,2<an2-a2n-1≤3;
(3)求a2015的整數(shù)部分.

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14.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-x+3a,x≥0}\\{{a}^{x},x<0}\end{array}\right.是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.(0,1)B.(0,\frac{1}{3}]C.[\frac{1}{3},1)D.[\frac{1}{3},+∞)

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11.下列命題中所有正確命題的序號為①③④.
①若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,那么實數(shù)a=-1;
②已知函數(shù)f(x)=(\frac{1}{2}x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,令h(x)=g(1-x2),則h(x)的圖象關(guān)于原點對稱;
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④冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第四象限.

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12.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=2AB=2,且BC1⊥A1C.
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(2)點D在邊A1C1上且C1D=\frac{1}{3}C1A1,證明在線段BB1上存在點E,使DE∥平面ABC1,并求此時\frac{BE}{{B{B_1}}}的值.

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