分析 (1)利用數(shù)列遞推關(guān)系式,結(jié)合an與Sn的關(guān)系得出結(jié)論;
(2)利用分類討論思想寫出數(shù)列通項,結(jié)合等比數(shù)列再進(jìn)行分類求和.
解答 (1)證明:∵對任意的n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,①
∴對任意的n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.②
①-②,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2.
又∵a1=1,a2=2,
∴a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.
∴對一切n∈N*,an+2=3an.
∵an≠0,
∴an+2an=3,
∴數(shù)列{a2n-1}是首項a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列{a2n}是首項a2=2,公比為3的等比數(shù)列.
∴a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
∴an=\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n+1}{2}-1(n為奇數(shù))}}\\{{2}^{\frac{n}{2}-1(n為偶數(shù))}}\end{array}\right..
(2)解:由(1)知,a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
則S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-1)+2×(1+3+…+3n-1)=3×(1+3+…+3n-1)=\frac{3({3}^{n}-1)}{2},
故S2n-1=S2n-a2n=\frac{3({3}^{n}-1)}{2}-2×3n-1=\frac{3}{2}×(5×3n-2-1).
綜上所述,Sn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}(5×{3}^{\frac{n-2}{2}-1}),(n=2k+1,k∈{N}^{+})}\\{\frac{3}{2}({3}^{\frac{n}{2}-1}),(n=2k,k∈{N}^{+})}\end{array}\right..
點評 本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式、等比數(shù)列通項公式和求和公式,結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想求解數(shù)列問題,意在考查考生對數(shù)列遞推關(guān)系的理解和運算求解能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | k=5 | B. | k≤5 | C. | k<5 | D. | k>5 |
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A. | 直線l平行與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α | |
B. | 若直線a?α,則a∥α | |
C. | 若直線a∥α,b?α,則a∥b | |
D. | 若直線a∥b,b?α,直線a平行與平面內(nèi)的無數(shù)條直線 |
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A. | (-∞,3] | B. | [2,3) | C. | (-∞,3) | D. | (-3,2] |
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A. | (0,1) | B. | (0,\frac{1}{3}] | C. | [\frac{1}{3},1) | D. | [\frac{1}{3},+∞) |
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