Question

邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，E為線段CD上的中點，以BE為折痕，將△ACE折起，使得二面角C-BE-C成θ角（如圖）
（Ⅰ）當(dāng)θ在（0，π）內(nèi)變化時，直線AD與平面BCE是否會平行？請說明理由；
（Ⅱ）若θ=90°，求直線CA與平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)θ在（0，π）內(nèi)變化時，假設(shè)直線AD與平面BC′E平行，平面BC′E∩平面ABCD=CE，從而AD∥CE，與題設(shè)矛盾．從而直線AD與平面BCE不會平行．
（Ⅱ）連結(jié)BD，由已知得二面角C′-BE-C的平面角是∠CEC′，即∠CEC′=90°，∠AC′B是直線C′A與平面BC′E所成角的平面角，由此能求出直線C′A與平面BC′E所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)θ在（0，π）內(nèi)變化時，直線AD與平面BCE是不會平行．
理由如下：
假設(shè)直線AD與平面BC′E平行，平面BC′E∩平面ABCD=CE，
AD?平面ABCD，∴AD∥CE，與題設(shè)矛盾．
故假設(shè)不成立，
∴直線AD與平面BCE是不會平行．…（4分）
（Ⅱ）連結(jié)BD，∵CD=CB，∠BCD=60°，∴△BCD是正三角形，
又E是CD中點，故BE⊥CE，從而BE⊥CE．
∴二面角C′-BE-C的平面角是∠CEC′，即∠CEC′=90°．…（8分）
C′E⊥CE，BE⊥C′E，BE∩CE=E，C′E⊥面ABCD．
AB?面ABCD，∴AB⊥C′E，又AB⊥BE，BE∩C′E=E，
∴AB⊥面C′EB，即點B是點A在面C′EB上投影，
∴∠AC′B是直線C′A與平面BC′E所成角的平面角．…（12分）
tan∠AC′B=

AB

BC′

=1，sin∠AC′B=

2

2

．
∴直線C′A與平面BC′E所成角的正弦值為

2

2

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面是否平行的判斷與證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．