Question

過拋物線y²=4x焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，如果

AF

=2

FB

，則直線AB的方程是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)點A，B的坐標(biāo)，求出直線方程后與拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根，再根據(jù)向量的有關(guān)知識得到坐標(biāo)的關(guān)系，進而代入拋物線的方程中得到答案

解答： 解：∵拋物線 C：y²=4x焦點F（1，0），準(zhǔn)線x=-1，則直線AB的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2(2+k2)

k2

，x₁•x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k2

•k=

4

k

①，
∴

AF

=（1-x₁，-y₁），

FB

=（x₂-1，y₂）
∵

AF

=2

FB

，
∴

1-x1=2(x2-1) y1=-2y2

，即

x1=3-2x2 y1=-2y2

②
①②聯(lián)立可得，x₂=

k2-4

k2

，y₂=-

4

k

，
代入拋物線方程y²=4x可得k²=8，
∵k=±2

2

，
∴直線AB的方程為y=±2

2

（x-1），即x±

2

4

y-1=0，
故答案為：x±

2

4

y-1=0

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，拋物線定義的應(yīng)用以及向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用