(12分)拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn).
①為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:;
②設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,求四邊形面積的最小值..
(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)時(shí),四邊形的面積最小,最小值是.
【解析】
試題分析:(1)先利用已知條件設(shè)出直線AB的方程,與拋物線聯(lián)立方程組,然后結(jié)合韋達(dá)定理表示出向量的數(shù)量積,進(jìn)而證明。
(2)根據(jù)由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,得是線段的中點(diǎn),從而點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等,得到四邊形的面積等于,結(jié)合三角形面積公式得到。
(Ⅰ)解:依題意,設(shè)直線方程為. …………1分
將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去得.……3分
設(shè),,所以 ,.
=1,
故.………………6分
(Ⅱ)解:由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,得是線段的中點(diǎn),從而點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等,所以四邊形的面積等于.……8分
因?yàn)? ……………9分
,…………11分
所以 時(shí),四邊形的面積最小,最小值是. ……12分
考點(diǎn):本試題主要是考查了直線與拋物線愛(ài)你的位置關(guān)系的運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng):對(duì)于幾何中的四邊形的面積一般運(yùn)用轉(zhuǎn)換與化歸的思想來(lái)求解得到。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年遼寧省高三第五次模擬理數(shù)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為.過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),直線,分別與拋物線交于點(diǎn),.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)記直線的斜率為,直線的斜率為.證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年海南省瓊海市高考模擬測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).
(1)證明:;
2)求的最大值,并求取得最大值時(shí)線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
(Ⅰ)證明:點(diǎn)在直線上;
(Ⅱ)設(shè),求的平分線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆福建省高二第一學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程。
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