已知橢圓C：  
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點坐標為(0，
3
)，離心率為
1
2
．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設P為橢圓上一點，A為橢圓左頂點，F(xiàn)為橢圓右焦點，求
PA
•
PF
的取值范圍．
分析：（I）根據(jù)已知條件分別求出a，b，c的值，從而確定橢圓方程．
（II）根據(jù)題意，設P（x，y）根據(jù)橢圓的方程，易得A1、F2的坐標，將其代入
PA
•
PF
中，可得關于x、y的關系式，結合雙曲線的方程，可得
PA
•
PF
=
1
4
x2+x+1，由x的范圍，可得答案．
解答：解：（1）設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
由已知b=
3
， 
c
a
=
1
2
，
所以a=2， b=
3
， c=1，
得橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．

（Ⅱ）設P（x，y），
又A（-2，0），F(xiàn)（1，0），則
PA
=(-2-x，-y)，
PF
=(1-x，-y)，
∴
PA
•
PF
=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=
1
4
x2+x+1(-2≤x≤2)．
當x=0時，取得最小值0，當x=2時，取得最大值4，
∴
PA
•
PF
∈[0，4]
點評：本題考查橢圓方程的應用、平面向量數(shù)量積的運算等，涉及最值問題．最值問題解題的思路是先設出變量，表示出要求的表達式，結合圓錐曲線的方程，將其轉化為只含一個變量的關系式，進而由不等式的性質或函數(shù)的最值進行計算．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知離心率為
6
3
的橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O為坐標原點），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方向向量為
V
=(1，
3
)的直線l過橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點以及點（0，-2
3
），直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為4
6
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0（O坐標原點），求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O為坐標原點），求直線l的方程．

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