Question

已知函數(shù)f（x）=|x-m|，
（Ⅰ）求證：f（-x）+f（

1

x

）≥2；
（Ⅱ）若m=1且a+b+c=

2

7

時，f（log₂x）+f（2+log₂x）＞

a

+2

b

+3

c

對任意正數(shù)a，b，c恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）利用絕對值不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（II）根據(jù)柯西不等式可得

a

+2

b

+3

c

≤2，因此f（log₂x）+f（2+log₂x）＞2，化為（log₂x-1）（log₂x+1）＞0，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出即可．

解答： （I）證明：f(-x)+f(

1

x

)=|-x-m|+|

1

x

-m|≥|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2；
（II）根據(jù)柯西不等式可得：（a+b+c）（1²+2²+3²）≥（

a

+2

b

+3

c

）²，
∴

a

+2

b

+3

c

≤2
∴f（log₂x）+f（2+log₂x）＞2，|log₂x-1|+|log₂x+1|＞2．
∴（log₂x-1）（log₂x+1）＞0，
解得log₂x＞1或log₂x＜-1．
∴x＞2或0＜x＜

1

2

．
∴x的取值范圍是x＞2或0＜x＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了絕對值不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、柯西不等式的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．