(2005福建,20)如下圖,直二面角D—AB—E中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=EB,FCE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE

(1)求證AE⊥平面BCE

(2)求二面角B—AC—E的大。

(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.

答案:略
解析:

解析(1)BF⊥平面ACE,∴BFAE.∵二面角D—AB—E為直二面角,且CBAB,∴CB⊥平面ABE,∴CBAE,∴AE⊥平面BCE

(2)以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,OE所在直線(xiàn)為x軸,AB所在直線(xiàn)為y軸,過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如下圖.因?yàn)?/FONT>AE⊥面BCE,BEBCE,所以AEBE,在RtAEB中,AB=2,OAB的中點(diǎn),故OE=1.于是A(0,-l,0),E(10,0),C(0,1,2)

,.設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為n=(xy,z),則

解得y=1,得n=(1,-11)是平面AEC的一個(gè)法向量.又平面BAC的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),

∴二面角B—AC—E的大小為

(3)ADz軸,AD=2,故

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離


提示:

剖析:1.在平面BCE內(nèi)尋找兩條相交直線(xiàn)都與AE垂直,結(jié)合題設(shè)可知,BFBC即是.

2.找二面角B—AC—E的平面角.

BF⊥平面AEC,只需作BGACG,連FG即可;而ABCD為正方形,所以GACBD的交點(diǎn).

3.用體積法較方便.


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