(2005
福建,20)如下圖,直二面角D—AB—E中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=EB,F為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.(1)
求證AE⊥平面BCE;(2)
求二面角B—AC—E的大。(3)
求點(diǎn)D到平面ACE的距離.
解析 (1)∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE.∵二面角D—AB—E為直二面角,且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE.(2) 以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,OE所在直線(xiàn)為x軸,AB所在直線(xiàn)為y軸,過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如下圖.因?yàn)?/FONT>AE⊥面BCE,BE面BCE,所以AE⊥BE,在Rt△AEB中,AB=2,O為AB的中點(diǎn),故OE=1.于是A(0,-l,0),E(1,0,0),C(0,1,2). ,.設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則即解得 令y=-1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一個(gè)法向量.又平面BAC的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),故 .∴二面角 B—AC—E的大小為.(3) ∵AD∥z軸,AD=2,故.∴點(diǎn) D到平面ACE的距離 . |
剖析: 1.在平面BCE內(nèi)尋找兩條相交直線(xiàn)都與AE垂直,結(jié)合題設(shè)可知,BF和BC即是.2 .找二面角B—AC—E的平面角.∵ BF⊥平面AEC,只需作BG⊥AC于G,連FG即可;而ABCD為正方形,所以G為AC和BD的交點(diǎn).3 .用體積法較方便. |
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