Question

已知函數(shù)f（x）=2x+αlnx（α∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為?（α），求?（α）的最大值；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為妒?（α），m，n為?（α）定義域A內(nèi)的任意兩個值，試比較　 與的大�。�

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=2+
當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)增；
當(dāng)a＜0時，令f′（x）＞0可得x＞-；令f′（x）＜0可得0＜x＜-，∴函數(shù)在（0，-）上單調(diào)減，在（-，+∞）上單調(diào)增；
（2）由（1）知，當(dāng)a≥0時，函數(shù)無最小值；當(dāng)a＜0時，x=-時，函數(shù)取得最小值?（α）=f（-）=-a+aln（-）
求導(dǎo)函數(shù)可得?′（α）=-1+ln（-）+1=ln（-），令?′（α）=0，可得a=-2
∴當(dāng)a＜-2時，?′（α）＞0；當(dāng)-2＜a＜0時，?′（α）＜0
∴函數(shù)在a=-2時取得極大值，且為最大值?（-2）=2；
（3）?（α）=-a+aln（-），則m，n為?（α）定義域A內(nèi)的任意兩個值時，
-==
不妨設(shè)m＜n＜0，則，令t=（t＞1），則-=
記u（t）==tln2t+ln2-（t+1）ln（t+1）（t＞1），則，即函數(shù)u（t）單調(diào)遞增，從而u（t）＞u（1）=0
∵，∴-＜0
即＜．
分析：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=2+，對a討論，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）知，當(dāng)a≥0時，函數(shù)無最小值；當(dāng)a＜0時，x=-時，函數(shù)取得最小值?（α）=f（-）=-a+aln（-）
求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值與最值；
（3）?（α）=-a+aln（-），則m，n為?（α）定義域A內(nèi)的任意兩個值時，作差可得 -=，再換元，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查換元法的運用，難度較大．