解:(1)函數(shù)的定義域為(0,+∞),求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=2+
當(dāng)a≥0時,f′(x)>0,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)增;
當(dāng)a<0時,令f′(x)>0可得x>-
;令f′(x)<0可得0<x<-
,∴函數(shù)在(0,-
)上單調(diào)減,在(-
,+∞)上單調(diào)增;
(2)由(1)知,當(dāng)a≥0時,函數(shù)無最小值;當(dāng)a<0時,x=-
時,函數(shù)取得最小值?(α)=f(-
)=-a+aln(-
)
求導(dǎo)函數(shù)可得?′(α)=-1+ln(-
)+1=ln(-
),令?′(α)=0,可得a=-2
∴當(dāng)a<-2時,?′(α)>0;當(dāng)-2<a<0時,?′(α)<0
∴函數(shù)在a=-2時取得極大值,且為最大值?(-2)=2;
(3)?(α)=-a+aln(-
),則m,n為?(α)定義域A內(nèi)的任意兩個值時,
-
=
=
不妨設(shè)m<n<0,則
,令t=
(t>1),則
-
=
記u(t)=
=tln2t+ln2-(t+1)ln(t+1)(t>1),則
,即函數(shù)u(t)單調(diào)遞增,從而u(t)>u(1)=0
∵
,∴
-
<0
即
<
.
分析:(1)函數(shù)的定義域為(0,+∞),求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=2+
,對a討論,可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由(1)知,當(dāng)a≥0時,函數(shù)無最小值;當(dāng)a<0時,x=-
時,函數(shù)取得最小值?(α)=f(-
)=-a+aln(-
)
求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而確定函數(shù)的極值與最值;
(3)?(α)=-a+aln(-
),則m,n為?(α)定義域A內(nèi)的任意兩個值時,作差可得
-
=
,再換元,構(gòu)造新函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而得出結(jié)論.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查換元法的運用,難度較大.