Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）x²-2ax-2lnx．
（Ⅰ）求證：a=0時，f（x）≥1恒成立；
（Ⅱ）當a∈[-2，-1]時，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：（I）將a=0代入，求出函數(shù)的導函數(shù)，進而分析出原函數(shù)的單調性，結合定義域，求出函數(shù)的最小值，即可得到結論；
（II）求出函數(shù)的導函數(shù)，分當a=-1時和當a＜-1時兩大類情況，分析函數(shù)的單調性，進而綜合討論結果，可得f（x）的單調區(qū)間．

解答： 證明：（Ⅰ）a=0時，f（x）=x²-2lnx，x∈（0，+∞），
f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，
令f'（x）=0，
解得：x=1，x=-1（舍去）
當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
∴f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=1
所以，?x∈（0，+∞），f（x）≥1．      …（5分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

2[(a+1)x2-ax-1]

x

①當a=-1時，f′(x)=

2(x-1)

x

，
此時f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減；
②當a＜-1時，f′(x)=

2(a+1)(x-1)(x+ 1 a+1 )

x

令f'（x）=0，解得：x=1 或x=-

1

a+1

，
�。┊�-2＜a＜-1時，1＜-

1

a+1

，
令f'（x）＞0，解得：1＜x＜-

1

a+1

令f'（x）＜0，解得：x＞-

1

a+1

或0＜x＜1，
此時f（x）在區(qū)間(1， -

1

a+1

)上單調遞增，在（0，1）和(-

1

a+1

， +∞)上單調遞減；
ⅱ）當a=-2時，1=-

1

a+1

，
此時f′(x)=

-2(x-1)2

x

≤0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減．
綜上，a=-1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，1）；
-2＜a＜-1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為(1， -

1

a+1

)，單調遞減區(qū)間為（0，1）和(-

1

a+1

， +∞)；
a=-2時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞），無單調增區(qū)間．       …（13分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質，函數(shù)恒成立問題，導數(shù)法分析函數(shù)的單調性，熟練掌握二次函數(shù)的性質，及導數(shù)法分析函數(shù)的單調性步驟，是解答的關鍵．