Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實常數(shù)）．
（1）若a=-2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=-2時故函數(shù) 在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（2），當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非負，故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)．
若-2e²＜a＜-2，當時f'（x）=0，當時，f'（x）＜0，此時f（x）是減函數(shù)； 當時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數(shù)．
所以此時有最值．若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
（3）由題意可化簡得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用導數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為g（1）=-1．
解答：解：（1）當a=-2時，f（x）=x²-2lnx，當x∈（1，+∞），，
（2），當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=-2，x=1時，f'（x）=0），故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（1）=1．
若-2e²＜a＜-2，當時，f'（x）=0；
當時，f'（x）＜0，此時f（x）是減函數(shù)；
 當時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數(shù)．
故[f（x）]_min==．
若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（僅當a=-2e²，x=e時，f'（x）=0），
故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
綜上可知，當a≥-2時，f（x）的最小值為1，相應的x值為1；當-2e²＜a＜-2時，f（x）
的最小值為，相應的x值為；當a≤-2e²時，f（x）的最小值為a+e²，
相應的x值為e．
（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而（x∈[1，e]）
令（x∈[1，e]），又，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而g'（x）≥0（僅當x=1時取等號），所以g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
故g（x）的最小值為g（1）=-1，所以a的取值范圍是[-1，+∞）．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及研究單調(diào)性與函數(shù)的最值，還考查求參數(shù)的范圍，解決此類問題的關鍵是分離參數(shù)后轉化為恒成立問題，即求新函數(shù)的最值問題，是近年高考考查的熱點．