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【題目】已知函數，.

（1）設函數，討論的單調性；

（2）設函數，若的圖象與的圖象有，兩個不同的交點，證明：.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的表達式并求導，分類討論的單調性；（2）由題意可得有兩個不同的根，則①，②， 消去參數得，構造函數求導研究函數單調性并利用放縮法推出，再次構造函數，通過證明來證明.

（1），定義域為，

.

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

當時，令，得，所以在，上單調遞增；

令，得，所以在上單調遞減.

當時，，在上單調遞增.

當時，令，得，所以在，上單調遞增；

令，得，所以在上單調遞減.

（2），

因為函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，

所以關于的方程，即有兩個不同的根.

由題知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，不妨設，記.

令，則，

所以在上單調遞增，所以，

則，即，所以.

因為

所以，即.

令，則在上單調遞增.

又，所以，

即，所以.

兩邊同時取對數可得，得證.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，點為的中點，點為線段垂直平分線上的一點，且，固定邊，在平面內移動頂點，使得的內切圓始終與切于線段的中點，且、在直線的同側，在移動過程中，當取得最小值時，的面積為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程(為參數)，直線的參數方程(為參數).

（1）求曲線在直角坐標系中的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當曲線截直線所得線段的中點極坐標為時，求直線的傾斜角.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義：若函數在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復區(qū)間長度”為，已知函數，則（ ）

A.是的一個“完美區(qū)間”

B.是的一個“完美區(qū)間”

C.的所有“完美區(qū)間”的“復區(qū)間長度”的和為

D.的所有“完美區(qū)間”的“復區(qū)間長度”的和為

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義：若函數在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復區(qū)間長度”為，已知函數，則（ ）

A.是的一個“完美區(qū)間”

B.是的一個“完美區(qū)間”

C.的所有“完美區(qū)間”的“復區(qū)間長度”的和為

D.的所有“完美區(qū)間”的“復區(qū)間長度”的和為

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓：的左、右焦點分別為，軸，直線交軸于點，，為橢圓上的動點，的面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點作兩條直線與橢圓分別交于且使軸，如圖，問四邊形的兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校倡導為特困學生募捐，要求在自動購水機處每購買一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數和收入情況，列表如下：

售出水量（單位：箱）

7

6

6

5

6

收入（單位：元）

165

142

148

125

150

學校計劃將捐款以獎學金的形式獎勵給品學兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學金500元；綜合考核21-50名，獲二等獎學金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎學金．

（1）若與成線性相關，則某天售出9箱水時，預計收入為多少元？

（2）假設甲、乙、丙三名學生均獲獎，且各自獲一等獎和二等獎的可能性相同，求三人獲得獎學金之和不超過1000元的概率．

附：回歸方程，其中．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，a∈R.

（1）若函數f（x）在x＝1處的切線為y＝2x+b，求a，b的值；

（2）記g（x）＝f（x）+ax，若函數g（x）在區(qū)間（0，）上有最小值，求實數a的取值范圍；

（3）當a＝0時，關于x的方程f（x）＝bx2有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（2）設點，直線與曲線相交于兩點，，求的值．

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