已知拋物線x=
1
4
y2的焦點與橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個焦點重合,F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點,Q是橢圓C上任意一點,且
QF1
QF2
的最大值是3.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點,在x軸上是否存在點P(m,0),使得PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由題意推導出橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),設Q(x,y),則
QF1
QF2
=b2-1+
c2
a2
x2
≤b2-1+c2,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)由題意知l:y=k(x-1),聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,利用韋達定理結合已知條件推導出存在滿足題意的點P且能求出m的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵拋物線x=
1
4
y2的焦點坐標為F(1,0),
∴由題意知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),
∴c=1,
設Q(x,y),則
QF1
QF2
=(-1-x,-y)•(1-x,-y)=x2-1+y2
=x2-1+b2(1-
x2
a2
)

=b2-1+
c2
a2
x2
,
∵-a≤x≤a,
QF1
QF2
=b2-1+
c2
a2
x2
≤b2-1+c2,
∴b2-1+c2=3,
∴b2+c2=4=a2,
∴a2=4,b2=3,
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由題意知l:y=k(x-1),
聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,整理,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
8k2
3+4k2

y1+y2=k(x1+x2-2),
PM
+
PN
=(x1-m,y1)+(x2-m,y2
=(x1+x2-2m,y1+y2),
∵菱形的對角線互相垂直,∴(
PM
+
PN
)•
MN
=0,
∴(x1-x2)[x1+x2-2m+k(y1+y2)]=0,
∴k(y1+y2)+x1+x2-2m=0,
∴k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0,
k2(
8k2
3+4k2
-2)+
8k2
3+4k2
-2m=0

由已知條件知k≠0,且k∈R,
∴m=
k2
3+4k2
=
1
3
k2
+4
,∴0<m<
1
4
,
∴存在滿足題意的點P且m的取值范圍是(0,
1
4
).
點評:本題考查橢圓的標準方程的求法,考查滿足條件的點是否存在的判斷,綜合性強,難度大,具有一定的探索性,解題時要注意函數(shù)方程思想的合理運用.
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④給出四個函數(shù)y=x-1,y=x,y=x2,y=x3,則在R上是增函數(shù)的有3個.
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a
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4
2
3
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4
2
3
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(Ⅱ)過M作AB的垂線,垂足為N,若存在正常數(shù)λ0,使
MP
0
PN
,且P點到A、B的距離和為定值,求點P的軌跡E的方程;
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1
2
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f(x1)-(x2)
x1-x2
<0
,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.
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(2)f(x)=x2;
(3)f(x)=-x;
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-x2,x≥0
x2,x<0
,
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(填相應的序號).

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