Question

（2009•奉賢區(qū)一模）首項為正數的數列{a_n}滿足an+1=

an2+3

4

，(n∈N*)．
（1）當{a_n}是常數列時，求a₁的值；
（2）用數學歸納法證明：若a₁為奇數，則對一切n≥2，a_n都是奇數；
（3）若對一切n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范圍；
（4）以上（1）（2）（3）三個問題是從數列{a_n}的某一個角度去進行研究的，請你類似地提出一個與數列{a_n}相關的數學真命題，并加以推理論證．

Answer 1

分析：（1）根據常數數列建立a_n=a_n+1，求出a_n即可；
（2）n=1，2時由已知得a₁是奇數，假設n=k時a_k是奇數，不妨設a_k=2m-1是奇數，再證a_k+1是奇數，根據數學歸納法得結論；
（3）證明充要條件需證明兩方面，一證充分性、二證必要性，根據an+1-an=

1

4

(an-1)(an-3)知，a_n+1＞a_n當且僅當a_n＜1或a_n＞3，可求出a₁的取值范圍，再證明即可；
（4）此題是開放題，答案不唯一，若對一切n∈N^*，{a_n}是等差數列，求a₁的取值范圍．設公差d，則根據前幾項進行求解即可．

解答：解：（1）an=an+1=

an2+3

4

，an=1，或an=3，∴a₁=1，或a₁=3（（3分），一解2分）
（2）證明：易證n=1，2時由已知得a₁是奇數，
假設n=k時a_k是奇數，不妨設a_k=2m-1是奇數，其中m為正整數，
則由遞推關系得ak+1=

ak2+3

4

=m(m-1)+1是奇數．
根據數學歸納法，對任何n∈N₊，a_n都是奇數．（5分）
（3）由an+1-an=

1

4

(an-1)(an-3)知，a_n+1＞a_n當且僅當a_n＜1或a_n＞3．
得0＜a₁＜1或a₁＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，則0＜ak+1＜

1+3

4

=1；若a_k＞3，則ak+1＞

32+3

4

=3．
根據數學歸納法，0＜a₁＜1，?0＜a_n＜1，?n∈N₊；a₁＞3?a_n＞3，?n∈N₊．
綜合所述，對一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要條件是0＜a₁＜1或a₁＞3．（5分）
（4）此題是開放題，答案不唯一
若對一切n∈N^*，{a_n}是等差數列，求a₁的取值范圍．
設公差d，則

a2=a1+d，a2= a 2 1 +3 4 ⇒a1+d= a 2 1 +3 4 a3=a1+2d，a3= a 2 2 +3 4 ⇒a1+2d= (a1+d)2+3 4

⇒4d=2a₁d+d²
d=0時由（1）知常數列，a₁=1或a₁=3是等差數列（3分）
d=4-2a₁時，解出a1=

17

-2，d=8-2

17

，a2=6-

17

，a3=14-3

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∴a4=a3+d=22-5

17

，a4=

a 2 3 +3

4

=88-21

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矛盾！不可能成等差數（2分）

點評：本題主要考查了數列遞推式的應用，同時考查了等差數列的性質和開放題的應用，屬于中檔題．