Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若是曲線上的兩點(diǎn)，.問: 是否存在,使得直線的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

試題（1）求導(dǎo)后利用判別式和函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)，分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先假設(shè)存在使得直線的斜率等于，利用公式將此化為，整理這個(gè)式子，得到等式.當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，利用換元法，令，可將等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出，即原方程無解，所以.

試題解析：(1).令，則.

當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)，即時(shí)，若，則解得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為

和，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

(2)若函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)使得，即，所以

① 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且都成立； ②當(dāng)時(shí)，有，設(shè)，則，記函數(shù)，則.

所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即方程在區(qū)間上無解，綜上，存在實(shí)數(shù)，滿足題意.