Question

【題目】定義符號函數(shù)，已知函數(shù).

（1）已知，求實(shí)數(shù)的取值集合；

（2）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，求的取值集合；

（3）已知在上的最小值為，求正實(shí)數(shù)的取值集合；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）先求出的表達(dá)式，再解關(guān)于的不等式，從而求得的值；

（2）當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)解析式，再將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，作出圖象，即可得到答案；

（3）由題意得，，再對分和兩種情況討化，對的情況，再進(jìn)行二級討論，即和兩種情況，最后進(jìn)行綜合得到正實(shí)數(shù)的取值集合.

（1）因?yàn)?/span>，

所以或

解得：或，

所以實(shí)數(shù)的取值集合為.

（2）當(dāng)時(shí)，

所以

因?yàn)?/span>在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，

所以方程在區(qū)間上有唯一的根，

所以函數(shù)與在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，

函數(shù)的圖象，如圖所示：

當(dāng)或時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以的取值集合為時(shí)，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn).

（3）當(dāng)時(shí)，在恒成立，

因?yàn)?/span>，，

①當(dāng)時(shí)，，

所以在恒成立，

所以.

②當(dāng)時(shí)，，

�。┊�(dāng)時(shí)，上式，

所以在恒成立，

所以，此時(shí)的數(shù)都成立；

ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

所以在恒成立，

當(dāng)，即時(shí)，，

所以；

當(dāng)，即時(shí)，，

所以；

所以；

綜合①②可得：或，

所以正實(shí)數(shù)的取值集合為：.