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已知三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,∠ACB=90°(如圖)
(1)求證:PA⊥BC;
(2)若PA=AC=BC=1,求點C到平面PAB的距離.
考點:點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的性質
專題:空間位置關系與距離
分析:(1)由已知條件推導出PA⊥平面ABC,由此能夠證明PA⊥BC.
(2)由已知條件推導出平面PAB⊥平面ABC,過點C作CD⊥AB,交AB于點D,CD長就是點C到平面PAB的距離.由此能求出點C到平面PAB的距離.
解答: (1)證明:∵三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,
AB∩AC=A,∴PA⊥平面ABC,
∵BC?平面ABC,∴PA⊥BC.(2)∵PA⊥平面ABC,且PA?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABC,
過點C作CD⊥AB,交AB于點D,
由直二面角的性質得CD⊥平面PAB,
∴CD長就是點C到平面PAB的距離.
在Rt△ABC中,∵AC=BC=1,∠ACB=90°,
∴AB=
2
,∴CD=
1
2
AB
=
2
2

∴點C到平面PAB的距離為
2
2
點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查點到直線的距離的求法,解題時要認真審題,注意合理地化空間問題為平面問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

一個正三棱柱的每一條棱長都是a,則經過底面一邊和相對側棱的一個端點的截面(即圖中△ACD)的面積為( 。
A、
7
4
a2
B、
7
2
a2
C、
6
3
a2
D、
7
a2

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,點E、F、G分別是各自所在棱的中點.
(1)在棱A1D1所在的直線上是否存在一點P,使得PE與平面B1FG平行?若存在,確定點P的位置,并證明;否則說明理由.
(2)求點B1到平面EFG的距離.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在三棱柱ABC-A1B1C1中,側面ABBA1為矩形,AB=1,AA1=
2
,D為AA1的中點,BD與AB1交于點O,CO⊥側面ABBA1
(Ⅰ)求直線BC與直線AB1所成的角;
(Ⅱ)若OC=
3
OA,求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

下面是用UNTIL語句設計的計算1×3×5×…×99的一個算法程序.

(Ⅰ)請將其補充完整;①
 
,②
 

(Ⅱ)繪制出該程序對應的流程圖.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,側棱SA⊥底面ABCD,過A作AE垂直SB交SB于E點,作AH垂直SD交SD于H點,平面AEH交SC于K點,且AB=1,SA=2.
(1)設點P是SA上任一點,試求PB+PH的最小值;
(2)求證:E、H在以AK為直徑的圓上;
(3)求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=lg(|x+1|+|x-2|+a).
(Ⅰ)當a=-5時,求函數f(x)的定義域;
(Ⅱ)若函數f(x)的定義域為R,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

執(zhí)行如圖的框圖,若輸出結果為
1
2
,則輸入的實數x的值是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

投擲一枚正方體骰子(六個面上分別標有1,2,3,4,5,6),向上的面上的數字記為a,又n(A)表示集合的元素個數,A={x||x2+ax+3|=1,x∈R},則n(A)=4的概率為
 

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