Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是BC的中點．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB=AC，BC=AA₁=2，求點A₁到平面ADC₁的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接A₁C，交AC₁于點E，連接DE，則DE∥A₁B．由此能證明A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A₁B∥平面ADC₁，則點A₁與B到與平面ADC₁的距離相等，從則C到與平面ADC₁的距離即為所求．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點E，
則點E是A₁C及AC₁的中點．
連接DE，則DE∥A₁B．
因為DE?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A₁B∥平面ADC₁，
則點A₁與B到與平面ADC₁的距離相等，
又點D是BC的中點，點C與B到與平面ADC₁的距離相等，
則C到與平面ADC₁的距離即為所求．…（6分）
因為AB=AC，點D是BC的中點，所以AD⊥BC，又AD⊥A₁A，
所以AD⊥平面BCC₁B₁，平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
作于CF⊥DC₁于F，則CF⊥平面ADC₁，CF即為所求距離．…（10分）
在Rt△DCC₁中，CF=

DC×CC1

DC1

=

2 5

5

．
所以A₁到與平面ADC₁的距離為

2 5

5

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．