Question

18．設數列{a_n}前n項和為S_n，滿足a_n=$\frac{3}{4}$S_n+$\frac{1}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系證明數列是等比數列，然后求出等比數列的通項公式．
（2）先求出b_n=na_n=2n•4^n-1=$\frac{1}{2}$n•4ⁿ，然后利用乘公比錯位相減法求數列的和，進一步求出結果．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{3}{4}$S_n+$\frac{1}{2}$（n∈N^*），
當n=1時，a₁=$\frac{3}{4}$S₁+$\frac{1}{2}$，解得a₁=2，
當n≥2時，a_n-1=$\frac{3}{4}$S_n-1+$\frac{1}{2}$，
∴a_n-a_n-1=$\frac{3}{4}$（S_n-S_n-1）=$\frac{3}{4}$a_n，
∴a_n=4a_n-1，
∴數列{a_n}是以2為首項，以4為公比的等比數列，
∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1，
（2）b_n=na_n=2n•4^n-1=$\frac{1}{2}$n•4ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1•4¹+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ），
∴2T_n=1•4¹+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ，
∴8T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…+n•4ⁿ⁺¹，
∴-6T_n=4¹+4²+4³+4⁴+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹=4ⁿ⁺¹（$\frac{1}{3}$-n）-$\frac{4}{3}$，
∴T_n=$\frac{1}{6}$（n-$\frac{1}{3}$）4ⁿ⁺¹+$\frac{2}{9}$

點評 本題考查的知識要點：利用遞推關系式求數列的通項公式，構造新數列然后利用錯位相減法求數列的和．屬于中檔題．