解:(1)令過P、Q方程
tx-2(t-5)y+t
2-10t=0,
假設(shè)M過PQ,
則t
2-6t+10=0,△=36-40<0,無實(shí)根,故M不過直線PQ.
若假設(shè)N過直線PQ,
同理得:t
2-16t+50=0,t
1=8-
,t
2=8+
(舍去)
∵t∈(0,10),當(dāng)t=8-
時,直線PQ過點(diǎn)N(4,5)
(2)由已知條件可設(shè)A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),D(a,a).
①點(diǎn)C(2a,a),即
,
消去a得y=
x,
故頂點(diǎn)C在直線y=
x上.
②令陰影面積為S,則s=
|10-t|-|t|-a
2∵t>0,10-t>0,S=
(-t
2+10t)-a
2∵點(diǎn)C(2a,a)在直線PQ上,
∴2at-2(t-5)a=-t
2+10t
∴a=
(10t-t
2),
S=
×10a-a
2=-
+
∴當(dāng)a=
時,S
max=
,
此時頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)為A(
,0)
,B(5,0),C(5,
),D(
,
)
分析:對于(1)可先求直線PQ的方程再把點(diǎn)M,點(diǎn)N的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可得到結(jié)論.
對于(2)的①找出點(diǎn)C的坐標(biāo)看是否適合直線y=
x.對于(2)的②陰影部分的面積即為三角形的面積減去正方形的面積,作差求最值即可.
點(diǎn)評:轉(zhuǎn)化思想是我們高中?嫉囊环N解題思想,常用于正面不好求,但轉(zhuǎn)化后好求的題中.