(如圖)過橢圓數(shù)學(xué)公式=1(a>b>0)的左焦點F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB;若點M在x軸上,且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線,則稱點M為該橢圓的“左特征點”.
(1)求橢圓數(shù)學(xué)公式=1的“左特征點”M的坐標(biāo).
(2)試根據(jù)(1)中的結(jié)論猜測:橢圓數(shù)學(xué)公式=1(a>b>0)的“左特征點”M是一個怎么樣的點?并證明你的結(jié)論.

解:(1)設(shè)M的左特征點
因為,橢圓的左焦點F(-2,0),
可設(shè)直線AB的方程為x=ky-2(k≠0)
代入,得:(ky-2)y2+5y2=5,
即(k2+5)y2-4ky-1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)得
由于,∠AMB被x軸平分,kAM+kBM=0,即y1(x2-m)+y2(x1-m)=0,即y1(ky2-2)+y2(ky1-2)-(y1+y2)m=0
所以,2ky1y2-(y1+y2)(m+2)=0
于是,
因為k≠0,所以1+2(m+2)=0,即
(2)對于橢圓,
于是猜想:橢圓的“左特征點”是橢圓的左準(zhǔn)線與x軸的交點
證明:設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線l與x軸相交于M點,過A、B分別作l的垂線,
垂足為C、D.
據(jù)橢圓的第二定義:
由于AC∥FM∥BD,所以
于是
所以,∠AMC=∠BMD?∠AMF=∠BMF
則MF為∠AMB的平分線
故M為橢圓的“左特征點”.
分析:(1)設(shè)M的左特征點,由橢圓左焦點F(-2,0),可設(shè)直線AB方程為x=ky-2(k≠0),代入,得(k2+5)y2-4ky-1=0,由∠AMB被x軸平分,kAM+kBM=0,即整理可求.
(2)對于橢圓,,結(jié)合橢圓的性質(zhì)特征可猜想:橢圓的左特征點是橢圓的左準(zhǔn)線與x軸的交點,然后可以利用第二定義給與證明.
點評:本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用,直線與橢圓相交關(guān)系的處理,要注意解題中直線AB得方程設(shè)為x=ky-2(k≠0)的好處在于避免討論直線的斜率是否存在.
練習(xí)冊系列答案
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附加題:如圖,過橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)上一動點P引圓x2+y2=b2的兩條切線PA,PB(A,B為切點).直線AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點.
①已知P點的坐標(biāo)為(x0,y0),并且x0•y0≠0,試求直線AB的方程;    
②若橢圓的短軸長為8,并且
a2
|OM|2
+
b2
|ON|2
=
25
16
,求橢圓C的方程;
③橢圓C上是否存在P,由P向圓O所引兩條切線互相垂直?若存在,求出存在的條件;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,并且焦距為2,短軸與長軸的比是
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)已知橢圓中有如下定理:過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任意一點M(x0,y0)的切線唯一,且方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
,利用此定理求過橢圓的點(1,
3
2
)
的切線的方程;
(3)如圖,過橢圓的右準(zhǔn)線上一點P,向橢圓引兩條切線PA,PB,切點為A,B,求證:A,F(xiàn),B三點共線.

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