Question

已知函數(shù)圖像上點處的切線與直線平行（其中），     
(I）求函數(shù)的解析式；
(II）求函數(shù)上的最小值；
(III）對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（I） （II） .
（III）實數(shù)的取值范圍為.

試題分析：（I）由點處的切線方程與直線平行，得該切線斜率為2，即
又所以 4分
（II）由（I）知，顯然當(dāng)所以函數(shù)上單調(diào)遞減.當(dāng)時，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，
①
②時，函數(shù)上單調(diào)遞增，
因此        7分
所以  10分
（III）對一切恒成立，又
即設(shè)
則由
單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增，

所以
因為對一切恒成立，

故實數(shù)的取值范圍為  14分 
點評：難題，本題（1）較為簡單，主要利用“曲線切線的斜率，等于在切點的導(dǎo)函數(shù)值”。本題（2）主要利用“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（3）作為不等式恒成立問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值），使問題得到解決。