已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)當t=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(Ⅱ)當t≠0時,求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)證明:對任意的t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點.
分析:(I)當t=1時,求出函數(shù)f(x),利用導數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線的斜率,利用點斜式求出切線方程;
(II)根據f'(0)=0,解得x=-t或x=
t
2
,討論t的正負,在函數(shù)的定義域內解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0求出單調區(qū)間即可;
(III)根據函數(shù)的單調性分兩種情況討論,當
t
2
≥1與當0<
t
2
<1時,研究函數(shù)的單調性,然后根據區(qū)間端點的符號進行判定對任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點從而得到結論.
解答:解:(I)當t=1時,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0
f'(x)=12x2+6x-6,f'(0)=-6,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=-6x.
(II)解:f'(x)=12x2+6tx-6t2,f'(0)=0,解得x=-t或x=
t
2

∵t≠0,以下分兩種情況討論:
(1)若t<0,則
t
2
<-t,∴f(x)的單調增區(qū)間是(-∞,
t
2
),(-t,+∞);f(x)的單調減區(qū)間是(
t
2
,-t)
(2)若t>0,則
t
2
>-t,∴f(x)的單調增區(qū)間是(-∞,-t),(
t
2
,+∞);f(x)的單調減區(qū)間是(-t,
t
2

(III)證明:由(II)可知,當t>0時,f(x)在(0,
t
2
)內單調遞減,在(
t
2
,+∞)內單調遞增,以下分兩種情況討論:
(1)當
t
2
≥1,即t≥2時,f(x)在(0,1)內單調遞減.
f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-13<0
所以對于任意t∈[2,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點.
(2)當0<
t
2
<1,即0<t<2時,f(x)在(0,
t
2
)內單調遞減,在(
t
2
,1)內單調遞增
若t∈(0,1],f(
t
2
)=-
7
4
t3
+t-1≤-
7
4
t3
<0,
f(1)=)=-6t2+4t+3≥-2t+3>0
所以f(x)在(
t
2
,1)內存在零點.
若t∈(1,2),f(
t
2
)=-
7
4
t3
+t-1<-
7
4
t3
+1<0,
f(0)=t-1>0∴f(x)在(0,
t
2
)內存在零點.
所以,對任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點.
綜上,對于任意t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點.
點評:本題主要考查了導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、曲線的切線方程、函數(shù)零點、解不等式等基礎知識,考查了計算能力和分類討論的思想.
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