Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin²θ=2．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Q的方程；
（2）過點(diǎn)B的直線l與軌跡Q交于兩點(diǎn)M，N．試問在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使得

CM

•

CN

為常數(shù)．若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）△APB中，由余弦定理和已知條件得||PA|-|PB||=2

2

，再利用雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以A、B
為焦點(diǎn)的雙曲線，求出 a和 b 的值，即得雙曲線方程．
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)C（m，0），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及

CM

•

CN

為常數(shù)，求得m值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）△APB中，由余弦定理得：AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•cos2θ=
|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•（1-2sin²θ）=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|+4|PA|•|PB|sin²θ 
=（|PA|-|PB|）²+8=16，∴||PA|-|PB||=2

2

，故點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，
且 c=2，a=

2

，∴b=

2

，故雙曲線方程為  x²-y²=2．
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)C（m，0），使得

CM

•

CN

為常數(shù)，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y=k（x-2），
代入雙曲線方程得 （1-k²） x²+4k²x-（4k²+2）=0，由題意知  k≠±1．
∴x₁+x₂=

4k2

k2-1

，x₁•x₂=

4k2+2

k2-1

．
∵

CM

•

CN

=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2 ）（x₂-2）
=（1+k²）x₁•x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²=

4(1 - m)

k2-1

+ m2+ 2(1-2m) 為常數(shù)，與k無關(guān)，
∴m=1，此時(shí)，C（1，0），且

CM

•

CN

=-1．
當(dāng)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，M（2，

2

），N （2，-

2

），滿足

CM

•

CN

=-1．
綜上，存在定點(diǎn)C（1，0），使得

CM

•

CN

為常數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查余弦定理、雙曲線的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求定點(diǎn)C 的
橫坐標(biāo)m值是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵，屬于中檔題．