Question

【題目】已知定義在R的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)， ，下面四種說(shuō)法①；②函數(shù)在［-6，-2］上是增函數(shù)；③函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；④若，則關(guān)于的方程在［-8，8］上所有根之和為-8，其中正確的序號(hào)__________。

Answer 1

【答案】①④

【解析】取x=1,得f(14)=f(3)=f(1)=log2(1+1)=1，,所以f(3)=f(3)=1，故①正確；

定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)=f(x),則f(x4)=f(x)，

∴f(x2)=f(x2)，

∴函數(shù)f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，

由于函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(4,0),故函數(shù)f(x)也關(guān)于(4,0)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故③不正確；

∵x∈[0,2]時(shí),f(x)=log2(x+1)為增函數(shù)，

由奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相同可得,x∈[2,0]時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，

∴x∈[2,2]時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，

∵函數(shù)f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),∴函數(shù)f(x)在[6,2]上是減函數(shù)，故②不正確；

若m∈(0,1),則關(guān)于x的方程f(x)m=0在[8,8]上有4個(gè)根，其中兩根的和為6×2=12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為8.故④正確

故答案為：①④