Question

已知x軸上有一列點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，當n≥2時，點P_n是把線段P_n-1P_n+1作n等分的分點中最靠近P_n-1的點，設線段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1…的長度分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n…，其中a₁=1．
（Ⅰ）寫出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3 (n∈N*)；
（Ⅲ）設點M_n（n，

1

an

）（n＞2，n∈N^*），在這些點中是否存在兩個點同時在函數(shù)y=

k

(x-1)2

 (k＞0)的圖象上，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）由題意得出遞推公式，寫出即可；（2）用放縮法證明不等式成立，（3）化簡，說明是遞增數(shù)列即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵當n≥2時，點P_n是把線段P_n-1P_n+1作n等分的分點中最靠近P_n-1的點，
∴P_nP_n+1=（n-1）P_nP_n-1，
即a_n=（n-1）a_n-1，
則a₂=1，a₃=2，a₄=6；
（Ⅱ）證明：∵a_n=（n-1）a_n-1，
∴

a2

a1

=1，

a3

a2

=2，…，

an

an-1

=（n-1）；
∴a_n=（n-1）!（n≥2），
由于a₁=1也符合上式，
則a_n=（n-1）!
則

1

a1

+

1

a 2

+…+

1

an

=1+1+

1

2

+

1

3!

+…+

1

(n-1)!

＜1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

=1+

1(1-( 1 2 )n-1)

(1- 1 2 )

=3-

1

2n-2

＜3．
（Ⅲ）若點M_n（n，

1

an

）（n＞2，n∈N^*）在函數(shù)y=

k

(x-1)2

 (k＞0)的圖象上，
則k=

1

an

×（n-1）²=

n-1

(n-2)!

（n＞2，n∈N^*），
則在n＞2，n∈N^*時，k隨著n增大而減小，
則不存在兩個點同時在函數(shù)y=

k

(x-1)2

 (k＞0)的圖象上．

點評：本題綜合考查了數(shù)列與不等式，在數(shù)列中注意遞推公式的應用及等比數(shù)列前n項和公式，在不等式中要注意根據(jù)要證明的不等式適當?shù)姆趴s．屬于難題．