Question

【題目】如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，菱形ABCD在平面β內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，DO⊥平面α，垂足為O.

(1)證明：AB⊥平面ODE.

(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析:(1)由DO⊥α，ABα，所以DO⊥AB，連接BD，可得DE⊥AB,由線面垂直的判定定理即可證得成立;(2) 因?yàn)锽C∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角. 由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE，又DE⊥AB，∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，從而∠DEO=60°, 不妨設(shè)AB=2，則AD=2，在Rt△DOE中求出DO的長(zhǎng)度,作比求出余弦值,即可求出答案.

試題解析:

(1)如圖，因?yàn)镈O⊥α，ABα，所以DO⊥AB，連接BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形，又E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE.

(2)因?yàn)锽C∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角.

由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，從而∠DEO=60°.

不妨設(shè)AB=2，則AD=2，易知DE=.

在Rt△DOE中，DO=DE·sin60°=，

連接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO===，

故異面直線BC與OD所成角的余弦值為.