Question

已知橢圓C₁：和雙曲線C₂：有相同的焦點F₁、F₂，2c是它們的共同焦距，且它們的離心率互為倒數，P是它們在第一象限的交點，當cos∠F₁PF₂=60°時，下列結論中正確的是（ ）
A．c⁴+3a⁴=4a²c²
B．3c⁴+a⁴=4a²c²
C．c⁴+3a⁴=6a²c²
D．3c⁴+a⁴=6a²c²

Answer 1

【答案】分析：利用橢圓、雙曲線的定義，結合余弦定理，可得4c²=A²+3a²，利用離心率互為倒數，可得A=，由此可得結論．
解答：解：由題意，|PF₁|+|PF₂|=2A，|PF₁|-|PF₂|=2a，則|PF₁|=A+a，|PF₂|=A-a
∵cos∠F₁PF₂=60°，∴4c²=（A+a）²+（A-a）²-（A+a）（A-a）=A²+3a²，
∵離心率互為倒數
∴=1
∴A=
∴4c²=+3a²，
∴c⁴+3a⁴=4a²c²，
故選A．
點評：本題考查橢圓、雙曲線的定義與幾何性質，考查余弦定理，屬于中檔題．