Question

（2008•成都二模）已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期為

π

2

．
（1）求f（

2π

3

）的值，并寫出函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心的坐標；
（2）當x∈[

π

3

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的最小正周期公式即可求出ω的值；進一步求出函數(shù)值及對稱中心．
（Ⅱ）先求出整體角的范圍，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]得到定義域內(nèi)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

解答：解：f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

 cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

），
（1）∵函數(shù)的最小正周期為

π

2

，ω＞0
∴ω=2，
即f（x）=sin（4x-

π

6

），
∴f（

2π

3

）=sin（

8π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1，
令4x-

π

6

=kπ，
解得x=

kπ

4

+

π

24

，
所以函數(shù)的對稱中心坐標為（

kπ

4

+

π

24

，0）（k∈Z）
（2）當x∈[

π

3

，

π

2

]時，4x-

π

6

∈[

7π

6

，

11π

6

]
∵當4x-

π

6

∈[

7π

6

，

3π

2

]時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)
∴當x∈[

π

3

，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

3

，

5π

12

]．

點評：本題考查解決三角函數(shù)的性質(zhì)問題，應(yīng)該先利用三角函數(shù)的有關(guān)的公式將函數(shù)化為一個角的正弦函數(shù)，進而求出ω，確定出f（x）的解析式是本題的突破點，然后利用整體角處理的方法求出函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．