已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓T經(jīng)過P(1，
6
3
)，Q(
2
，
3
3
)．
（I）求橢圓T的標準方程；
（II）若M，N是橢圓T上兩點，滿足
OM
•
ON
=0，求|MN|的最大值．
分析：（I）設(shè)橢圓T的方程為mx2+ny2=1，將P、Q的坐標代入，求出m，n的值，即可求得橢圓T的標準方程；
（II）表示出|MN|，利用M，N是橢圓T上兩點，滿足
OM
•
ON
=0，結(jié)合基本不等式，即可求|MN|的最大值．
解答：解：（I）設(shè)橢圓T的方程為mx2+ny2=1，將P、Q的坐標代入得
m+
2
3
n=1
2m+
1
3
n=1
，∴
m=
1
3
n=1

∴橢圓T的標準方程為
x2
3
+y2=1；
（II）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則|MN|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

∵
OM
•
ON
=0，∴x1x2+y1y2=0，∴|MN|=
x12+x22+y12+y22
=
2
3
(x12+x22)+2

∵(x1x2)2=(y1y2)2=1-
1
3
（x12+x22）+
(x1x2)2
9

∴
8(x1x2)2
9
=1-
1
3
（x12+x22）≤
8
9
(
x12+x22
2
)2
∴x12+x22≥3
∴|MN|≤2，∴|MN|的最大值為2．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查基本不等式，確定|MN|的表達式是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知中心在原點、焦點在x軸上橢圓，離心率為
6
3
，且過點A（1，1）
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Π）如圖，B為橢圓右頂點，橢圓上點C與A關(guān)于原點對稱，過點A作兩條直線交橢圓P、Q（異于A、B），交x軸與P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求證：存在實數(shù)λ，使得
PQ
=λ
BC
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（0，1），離心率為
2
2
．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點F，且與橢圓E交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為C，直線BC與x軸交于點M，當△MAF的面積為
1
2
，求△MAC的內(nèi)切圓方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012屆四川省綿陽市高二上學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試題 題型：解答題

如圖，已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓經(jīng)過點（，），且它的左焦點F1將長軸分成2∶1，F(xiàn)2是橢圓的右焦點．

    （1）求橢圓的標準方程；

    （2）設(shè)P是橢圓上不同于左右頂點的動點，延長F1P至Q，使Q、F2關(guān)于∠F1PF2的外角平分線l對稱，求F2Q與l的交點M的軌跡方程．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點、焦點在x軸上橢圓，離心率為數(shù)學公式，且過點A（1，1）
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）如圖，B為橢圓右頂點，橢圓上點C與A關(guān)于原點對稱，過點A作兩條直線交橢圓P、Q（異于A、B），交x軸與P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求證：存在實數(shù)λ，使得數(shù)學公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012年云南省昆明市高三復習適應(yīng)性檢測數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（0，1），離心率為．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點F，且與橢圓E交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為C，直線BC與x軸交于點M，當△MAF的面積為，求△MAC的內(nèi)切圓方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案