已知離心率為的橢圓C:+=1(a>b>0)過點(diǎn)M(,1,O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)A、B為橢圓C上相異兩點(diǎn),且,判定直線AB與圓O:x2+y2=的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(1)由,能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:y=kx+m,由,得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,由△=8(8k2-m2+4)>0,知8k2-m2+4>0,由韋達(dá)定理得:,y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=.由得x1x2+y1y2=0.由圓心到直線的距離,能夠推導(dǎo)出直線AB與圓O相切.
解答:解:(1)由,解得:,故橢圓C的方程為.(4分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:y=kx+m,
,得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,(1分)
則△=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0,
由韋達(dá)定理得:,(1分)
則y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=
得:
x1x2+y1y2=0,(1分)
,化簡(jiǎn)得:3m2-8k2-8=0,(1分)
因?yàn)閳A心到直線的距離,(1分)
,
,∴d2=r2,即d=r.(1分)
此時(shí)直線AB與圓O相切
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),由可以計(jì)算得A,B的坐標(biāo)為
此時(shí)直線AB的方程為
滿足圓心到直線的距離等于半徑,即直線AB與圓O相切.(1分)
綜上,直線AB與圓O相切.(1分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓C的方程,判定直線與圓的位置關(guān)系,并證明.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì),合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓C的方程;

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已知離心率為的橢圓C:過(1,
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱,若存在請(qǐng)求出m,若不存在請(qǐng)說明理由.

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已知離心率為的橢圓C:(a>b>0)與過點(diǎn)A(5,0),B(0,)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)是否存在過點(diǎn)M的直線l,依次交橢圓C、x軸、y軸于點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)、P、Q,且滿足,若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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已知離心率為的橢圓C:的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為E,直線EF截圓x2+y2=1所得弦長(zhǎng)為
(1)求橢圓C的方程;
(2)過D(-2,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,.試探究的取值范圍.

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