Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角的正弦與余弦及輔助角公式，將解析式化為y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最小正周期和最大值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，并把“2x+

π

4

”當(dāng)做一個整體求出x的范圍，即求出函數(shù)的減區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意得，
f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
=1+2sinxcosx+1+cos2x
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
∴它的最小正周期T=π，f（x）最大值是

2

+2；
（2）由（1）得，f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得，

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z）
所以f（x）的遞減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）

點評：本題考查了二倍角的正弦與余弦、輔助角公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的周期性、最值和單調(diào)性，屬于中檔題．