已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.下列結(jié)論:
①?x0∈R,f(x0)=0;
②函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形;
③若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在(-∞,x0)單調(diào)遞減;
④若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0.
其中正確的有
①④
①④
分析:利用函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的性質(zhì),對①②③④四個選項逐一判斷即可.
解答:解:①∵f(x)=x3+ax2+bx+c,
∴f′(x)=3x2+2ax+b,即f(x)的導(dǎo)函數(shù)為開口向上的二次函數(shù),
當(dāng)△<0時,f′(x)>0恒成立,f(x)=x3+ax2+bx+c在R上單調(diào)遞增,故必?x0∈R,f(x0)=0;
當(dāng)△≥0時,f′(x)有時大于0,有時小于0,f(x)=x3+ax2+bx+c時增時減,故必?x0∈R,f(x0)=0;
綜上分析,①正確;
②由于f(-x)+f(x)=2ax2+2c不一定恒為0,故函數(shù)y=f(x)的圖象不一定是中心對稱圖形,即②是錯誤的;
③若x0是f(x)的極小值點(diǎn),只能說明在x0附近,左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0,右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0,不能說明f(x)在(-∞,x0)單調(diào)遞減,故③錯誤;
④對于f(x)=x3+ax2+bx+c,若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0,正確.
故答案為:①④.
點(diǎn)評:本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查導(dǎo)函數(shù)與極值的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( �。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案